天天快报!高等数学第二章-极限介绍

首先数列极限：（n）趋于无穷，（Xn）为确定的值。准确的描述需要用（ε-N语言）。这里强调一下，数列极限存在就是数列收敛，极限不存在就是发散/不收敛。

数列极限的性质：

(资料图)

①唯一性：若极限存在，则极限唯一。

②有界性：若极限存在，则数列有界。

③保号性：若极限大于0，则数列大于N的项数值都大于0。

④归并性：若极限存在，则任意子数列极限也存在。

函数极限：（x）趋向于（a），（ f(x) ）趋向于（b） 或者写成（lim）形式。准确描述同样需要用（ε-N语言）。

函数左、右极限，分别是（x）从两个不同方向趋向于（a）；左极限和右极限同时存在，函数极限才存在。

函数极限的性质：

①唯一性：同上

②局部有界性：若极限存在，则函数在某邻域范围内有界。

③局部保号性：若极限大于0，则函数在某邻域范围内函数值大于0。

④归结定理：若函数在（x0）处极限存在为A，则以（x0）为极限的数列函数存在且A。

无穷小和无穷大：函数极限值A=0，以及A不存在为无穷的两种情况。

注：无穷小是极限存在，无穷大是极限不存在。

无穷小运算：无穷小之间加、减、相乘、数乘结果都是无穷小，相除结果未知。

无穷大运算：无穷大之间加、减结果未知，相乘、数乘、相除结果都是无穷大。

无穷小和无穷大相互运算：加、减结果都是无穷大，相乘、相除结果未知。

极限法则：（一下无穷小用0表示）

① 0 * 0 = 0

②有界 * 0 = 0

③ 数乘换出去

④ 两个函数极限相乘/相加减 = 两个函数相乘/相加减的极限（前提三个极限均存在）

⑤ 无穷小的倒数是无穷大

⑥夹逼准则

⑦单调有界必有极限

无穷小比较：高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小（k为指数位置）

同阶无穷小中等价无穷小最为重要，在分式化简上可以灵活运用，但是注意替换条件：首先得是无穷小；需要是乘法的时候。